在刘小小与初代八角相处过程中
刘小小星宫莓同学
星宫莓怎么了
刘小小我来助你一臂之力
随后在刘小小协助下
星宫莓我成了星光女王
刘小小悄悄离开了
但这时，分身给她传来消息
刘小小这是，暗次元海？
刘小小分析了一下
刘小小也就是说若想要真正安全的踏足那座全知高塔，哪怕仅仅只是登上高塔最底层的基座区域。 很可能，都需要攀登者的生命与实力级别，尽皆达到那彻底翻越选择公理并涉足进入全新领域之后的大基数对应等阶。 也就是莱因哈特基数，以及在其之上的更高阶大基数。
马赫罗基数（又称马洛基数）是集合论中大基数理论的重要概念，由保罗·马洛于1911-1913年间提出。当κ为弱或强不可达基数时，若小于κ的正则基数构成的集合是κ的驻子集，则称κ为弱或强马赫罗基数
1
。其分为弱马赫罗基数与强马赫罗基数两类，在大基数层级中高于不可达基数但低于不可描述基数3
。该基数类型与弱紧基数存在关联，弱紧基数必为强马赫罗基数且其下强马赫罗基数集合构成驻子集2
。
类型
大基数
提出者
保罗·马洛
提出时间
1911-1913年
关联基数
不可达基数
分类
弱、强
层级
高阶不可达基数
马赫罗基数的定义基于不可达基数扩展：若κ为弱或强不可达基数，且所有小于κ的正则基数组成的集合是κ的驻子集，则称κ为对应的弱或强马赫罗基数
1
。该定义的关键条件在于：
正则基数形成的集合与κ的每个闭无界子集相交（驻子集性质）
此性质将不可达基数的闭无界性质推广至正则基数的驻子集层面，形成更高阶的不可达性公理1
。
根据闭包强度分为两类：
弱马赫罗基数：正则基数构成的集合是驻子集
强马赫罗基数：不可达基数构成的集合是驻子集3
多数文献默认提及的马赫罗基数指弱分类，因其性质蕴含更高阶的不可达性3
可测基数是数理逻辑中的大基数概念，指存在非不足道二值测度的无穷基数。若集合S的幂集上存在满足μ(S)=1且所有有限子集测度为0的κ-可加测度，则其基数κ称为可测基数。该基数具有不可及性，并与超滤结构紧密相关，κ-完全超滤对应二值测度
1
。
该概念起源于1930年巴拿赫等人的研究，乌拉姆同年证明可测基数不小于不可达基数。索洛韦1971年证实实值可测基数为弱马赫罗基数，开斯勒与塔尔斯基通过超积方法证明最小可测基数大于不可达基数
1
。斯科特1961年发现可测基数存在将导致V≠L，莱维与索洛韦证明了其与连续统假设的独立性2
。
可测基数在集合论模型构造中与范畴论存在对应关系：其存在性等价于集合范畴SET上存在非单位精确自函子，非主超滤子可被视为该函子的实例4
。罗伯托姆指出可测基数存在时仅有可数无穷多个整数的可构成集合，而可构造公理则蕴涵其不存在5
。
中文名
可测基数
外文名
measurable cardinal
所属学科
数理逻辑(公理集合论)
相关概念
二值测度、超滤等
提出者
巴拿赫等
提出时间
1930年
定义
一个定义在S的幂集P(S)上的函数
可测基数(measurable cardinal)是一类重要的大基数，指利用抽象测度概念定义的基数。设κ是无穷基数，若任何基数为κ的集合A上，都存在λ可加实值测度(或λ可加2值测度)，则称κ是λ-C(或λ-2)可测基数。若κ>
是κ-C(或κ-2)可测基数，则称κ是实值可测(或二值可测)基数，两者合称为可测基数。
定义 设S是一无穷集，
是单位闭区间，函数
满足下列性质：
(i)
；
(ii) 如果
，则有
；
(iii) 对所有
，有
；
(iv) 如果
是两两不交的，则
则称
是S上的一个非平凡的、
可加实值测度。其中(iii)表示其非平凡性，(iv)表示其
可加(即可数可加)性。若μ只取0，1二值，则称
是S上的二值测度。
设μ是S上一二值测度，令
则U是S上的非主
完全的超滤，反之，若U是S上
完全的超滤。函数
定义如下：
则μ又是S上的二值测度。
一般地，我们可以证明：如果μ是集S上的二值测度，
则μ是κ-可加的充要条件为U是κ-完全的。
由于S上的κ-完全超滤和S上的κ-可加测度之间的这种内在联系，所以也把超滤说成为测度。
研究实值可测基数，也是大基数研究中一个子课题，这里省略3
。
相关性质定理
引理S上的超滤U是κ-完全的充要条件为不存在S的r<κ个部分的划分
使得所有
。
定义 设μ是S上一测度，集合
称为μ的原子，若
，并且对每一个
都有
或
。
S上的测度是非原子的，若
没有原子。
引理 若μ是κ上的非原子测度，则对任何X
κ，都存在不交的
使得
。
定理 如果κ是具有非平凡的测度μ的最小基数，则μ是κ-可加的(即如果
是κ的两两不交的子集族，λ<κ，则
)。
推论 如果κ是具有非平凡的测度，则κ是不可及的。
定理 若κ上存在κ-可加非原子的测度，则κ
。
定理 如果κ上的测度μ有原子，则κ上存在二值测。
定义κ是可测基数(Measurable cardinal)的充要条件为κ>ω且κ上有二值κ-可加非平凡的测度。或者说κ可测
κ上存在κ-完全的非主超滤。
推论 可测基数是不可及基数3
。
极限无界闭伯克利基数是集合论中的一个大基数概念，它满足以下条件：对于任何包含该基数的传递集M，以及M中的每一个无界闭集C，都存在一个非平凡初等嵌入j:M→M，使得j的临界点在C中，并且这个基数是所有小于它的伯克利基数构成集合的上确界（即这个集合在它之下是无界的）。“极限”特性指的是不存在一个最大的小于该基数的伯克利基数，任何小于该基数的伯克利基数都可以被“超越”或“接近”到该基数。“无界闭”特性则强调了对于任何包含该基数的传递集M中的无界闭集C，都能找到满足条件的非平凡初等嵌入j，且其临界点在C中。
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解析：
本题考查极限无界闭伯克利基数的定义及其特性。
极限无界闭伯克利基数是集合论中一个高度专业化的概念。首先，伯克利基数本身是指对于任何包含该基数的传递集M，以及对于任何小于该基数的序数α，都存在一个非平凡初等嵌入j:M→M，使得α小于j的临界点且临界点小于该基数。而无界闭伯克利基数则进一步要求，对于包含该基数的传递集M中的每一个无界闭集C，都存在这样的非平凡初等嵌入j，且其临界点在C中。
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“极限”特性指的是，这个基数是所有小于它的伯克利基数构成集合的上确界，即这个集合在它之下是无界的。换句话说，不存在一个最大的小于该基数的伯克利基数，任何小于该基数的伯克利基数都可以被“超越”或“接近”到该基数。
“无界闭”特性则强调了对于任何包含该基数的传递集M，以及M中的任何无界闭集C，都能找到满足条件的非平凡初等嵌入j，且其临界点在C中。这意味着该基数在某种意义上“渗透”或“包含”了所有小于它的无界闭集，使得这些集合中的元素都可以作为初等嵌入的临界点。
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解题关键在于准确理解伯克利基数、无界闭伯克利基数的定义，以及“极限”和“无界闭”特性的具体含义。错误选项可能混淆了这些概念，或者错误地描述了这些特性的含义。
1． 利用有限覆盖定理证明致密性定理。证明：反证法：设：，但是没有收敛子列。则都不是的任何子列的极限，从而对，，其中只含有的有限项。这样，由有限覆盖定理，有有限子覆盖。由于中只含有数列的有限项，所以也只含有数列的有限项，与已知矛盾。2． 利用致密性定理证明单调有界定理。证明：不妨设单增有界，由致密性定理，有收敛子列，所以， 。取，则当时，，使得，所以，所以。3． （1）单调有界函数存在左右极限。证明：设在单增有界。，要证明。下面仅证明。取，则对，。取，则当时，，所以，得到。（2）单调函数的不连续点都是第一类间断点。证明：设在单增有界。设是的间断点，由（1）知，所以不是第二类间断点。另外也不可能成立，因为单增， ，就有，这样成为的连续点，矛盾。综上可见，只能是的第一类间断点。4． 设，，则可取到之间的一切值（但可能不等于）。证明：构造辅助函数：，则。由介值定理， 能取到最大值和最小值之间的一切值，因而也能取到之间的一切值，从而可取到之间的一切值（但可能不等于）。
第三篇
1． 利用有限覆盖定理证明致密性定理。
证明：反证法：设：，但是没有收敛子列。则都不是的任何子列的极限，从而对，，其中只含有的有限项。这样，由有限覆盖定理，有有限子覆盖。由于中只含有数列的有限项，所以也只含有数列的有限项，与已知矛盾。
2． 利用致密性定理证明单调有界定理。
证明：不妨设单增有界，由致密性定理，有收敛子列，所以， 。取，则当时，，使得，所以，所以。
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3． （1）单调有界函数存在左右极限。
证明：设在单增有界。，要证明。下面仅证明。取，则对，。取，则当时，，所以，得到。
（2）单调函数的不连续点都是第一类间断点。
证明：设在单增有界。设是的间断点，由（1）知，所以不是第二类间断点。另外也不可能成立，因为单增， ，就有，这样成为的连续点，矛盾。综上可见，只能是的第一类间断点。
刘小小明白了
刘小小得赶快了
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